関数の商の微分

$$y=\frac{x^2+5x+6}{x+3}$$ (42)

を微分することを考えてみましょう。右辺の分子を因数分解して約分してもよいの ですが、ここでは

$$f(x)=x^2+5x+6,\qquad g(x)=x+3$$ (43)

と考えて $y=f(x)/g(x)$ として解いてみます。

$$\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{\frac{f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{\Delta x}$$ (44)

$$= \left\{\frac{1}{\Delta x}\frac{f(x+\Delta x)g(x)-f(x)g(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)g(x)}\right\}$$ (45)

ここで右辺の分子から $f(x)g(x)$ を引き $f(x)g(x)$ を加えます。すると

$$= \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\left\{\frac{1}{\Delta x}\frac{f(x+\Delta x)g(x)-f(x)g(x)-f(x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x)}{g(x+\Delta x)g(x)}\right\}$$ (46)

$$= \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}g(x)-f(x)\frac{g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}} {g(x+\Delta x)g(x)}$$ (47)

となります。ここで

$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{A(x)}{B(x)}=\frac{\lim_{x\rightarrow 0}A(x)}{\lim_{x\rightarrow0}B(x)}$$ (48)

という関係が成り立つと思って下さい。そうすると

$$= \frac{ \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\left\{ \frac{f(x+\Delta x)-f(... ...)-g(x)}{\Delta x} \right\} } { \lim_{\Delta x\rightarrow 0} g(x+\Delta x)g(x) }$$ (49)

$3$ つの $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}$ の極限はそれぞれ

$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\left\{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}g(x)\right\} = f'(x)g(x)$$ (50)

$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\left\{f(x)\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\right\} = f(x)g'(x)$$ (51)

$$\lim_{\delta x\rightarrow 0}\left\{g(x+\Delta x)g(x)\right\}=g(x)g(x) = \left\{g(x)\right\}^2$$ (52)

となります。従って商の微分の公式は

$$\frac{d}{dx}\frac{f(x)}{g(x))}=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\left\{g(x)\right\}^2}$$ (53)

となります。 (42) から $f'(x)=2x+5$, $g'(x)=1$ となりますから

$$\frac{dy}{dx} = \frac{(2x+5)(x+3)-(x^2+5x+6)}{\left(x+3\right)^2}$$ (54)

$$= \frac{(2x+5)(x+3)-(x+2)(x+3)}{\left(x+3\right)^2}$$ (55)

$$= \frac{2x+5-(x+2)}{x+3}$$ (56)

$$= \frac{x+3}{x+3}=1$$ (57)

と計算できます。