関数の積の微分

$$y=(x+3)(x+2)$$ (33)

を微分するには右辺の括弧をほどいて

$$y=x^2+5x+6$$ (34)

として解いてもよいですが

$$f(x)=(x+3),\qquad g(x)=(x+2)$$ (35)

とみなして $y=f(x)\cdot g(x)$ と考えて解いてみれば

$$\left[f(x)\cdot g(x)\right]' = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)\cdot g(x+\Delta x)-f(x)\cdot g(x)}{\Delta x}$$ (36)

$$= \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\left[\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\right]g(x+\Delta x)$$ (37)

$$+ \lim_{\Delta x\rightarrow 0}f(x)\left[\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\right]$$ (38)

$$= f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$ (39)

となります。この公式を使って $y=(x+3)(x+2)$ の微分を考えてみると

$$y' = (x+3)'(x+2)+(x+3)(x+2)'$$ (40)

$$= (x+2)+(x+3)= 2x+5$$ (41)

となります。