エネルギー関数

ホップフィールドは、ネットワークの状態を表す次のエネルギー関数を 導入し、

 

式(1) と式(2) で定義される状態変化規則に従ってネッ トワークを動作させたとき式(4)で定義されるエネルギー関数が 必ず減少することを示した。

このことを確かめるために、ネットワークの状態が変化したときにエネルギー関数 がどのように変化するかを調べてみる。 エネルギー関数を k 番目のユニットに関する項とそれ以外の項に分けて、変形す ると

いま、ある時刻 t から t+1 の間に k 番目のユニットの出力が

に変化したものとする。このとき は 1 か -1 である。このような の変化による状態変化に伴うエネルギー関数の変化 は、非同期的変化の仮定により k 番目のユニット以外は 変化しないので

となる。 であることに注意して

と表される。右辺のカッコ内は であるから

と書くことができる。式(1) の状態変化規則から のときは が に変化したことを表し ているので であるから である。反対に のときは が に変化したことになるので だから である。 のときは なので、全ての場合について

となる。