双曲線関数について

$e$ の定義

$$\lim_{h\rightarrow\infty}\Brc{1+h}^{\frac{1}{h}}= \lim_{h\rightarrow\infty}\Brc{1+\frac{1}{h}}^h\doteq2.7182\cdots .$$ (16)

すべての自然数 $n$ に対して

$$\Brc{1+\frac{1}{n}}^n<e<\Brc{1+\frac{1}{n}}^{n+1}$$ (17)

です。

テーラー級数

任意の関数のベキ級数展開は、

$$f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a) +\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+R_n,$$ (18)

で表されます。もし $\lim_{n\rightarrow\infty}R_n=0$ であれば、このベキ級数は すべての $x$ に対して収束します。テーラー級数で $a=0$ の特別な場合を マクローリン級数といいます。

$$f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}(x) +\frac{f''(0)}{2!}x^2 +\frac{f'''{(n)}(0)}{3!}x^3+\cdots,$$ (19)

マクローリン級数を使って、よい近似の $e$ を作ることができます。

$$f(x)= e^x, f(0) = 1$$

$$f'(x)= e^x, f'(0) = 1$$

$$f''(x)= e^x, f''(0) = 1$$

$$f(1)=e^1=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots=2.718\cdots.$$ (20)

三角関数の級数展開

三角関数を $\theta=0$ の回りでテーラー展開(マクローリン展開)すれば

$f(x)=\cos(x)$	$f(0)=1$	$f(x)=\sin(x)$	$f(0)=0$
$f^{(1)}(x)=-\sin(x)$	$f^{(1)}(0)=0$	$f^{(1)}(x)=\cos(x)$	$f^{(1)}(0)=1$
$f^{(2)}(x)=-\cos(x)$	$f^{(2)}(0)=-1$	$f^{(2)}(x)=-\sin(x)$	$f^{(2)}(0)=0$
$f^{(3)}(x)=\sin(x)$	$f^{(3)}(0)=0$	$f^{(3)}(x)=-\cos(x)$	$f^{(3)}(0)=-1$
$f^{(4)}(x)=\cos(x)$	$f^{(4)}(0)=1$	$f^{(4)}(x)=-\sin(x)$	$f^{(4)}(0)=0$

$$\sin x=0+\frac{x}{1!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!}-\cdots,\vert x\vert<\infty,$$ (21)

$$\cos x=1-\frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!}+\cdots,\vert x\vert<\infty,$$ (22)

一方 $e^{ix}$ をマクローリン展開すれば、

$$e^{ix} = 1+\frac{x}{1!}i-\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}i+\frac{x^4}{4!} +\frac{x^5}{5!}i-\frac{x^6}{6!}-\cdots,$$ (23)

$f(x)=e^{ix}$	$f(0)=1$
$f^{(1)}(x)=ie^{ix}$	$f^{(1)}(0)=i$
$f^{(2)}(x)=-e^{ix}$	$f^{(2)}(0)=-1$
$f^{(3)}(x)=-ie^{ix}$	$f^{(3)}(0)=-i$
$f^{(4)}(x)=e^{ix}$	$f^{(4)}(0)=1$

なので

$$e^{ix} = \cos x + i\sin x$$ (24)

$$\sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i},\qquad \cos x = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2i},$$ (25)

$$e^{i\pi} = -1$$ (26)

双曲線関数

$$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2},\qquad \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2},$$ (27)

$$\tanh x = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}},\qquad \coth x = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}$$ (28)