前回の予告通り、今日は2標本の検定を行いますが、その前に、 F 分布と F 検定について説明します。 2標本の検定方法は2種類あり、どちらを選ぶかは F 検定で決まるからです。 なお、次回以降説明する分散分析では、 F 検定を使っています。
F分布 （ F-distribution ）とは、確率分布の一種で、次の性質を持ちます。 標本 X の大きさを n 1 , 分散を s 1 2 , 標本 Y の大きさを n 2 , 分散を s 2 2 とすると、2つの分散の比 F ＝ s 1 2 ／ s 2 2 は自由度( n 1 −1, n 2 −1) の F 分布に従う。
t 分布のときは、自由度 n −1というパラメータを1つ持ちましたが、 F 分布では自由度( n 1 −1, n 2 −1)とパラメータを2つ持ちます。 前者を分子の自由度、後者を分母の自由度と呼ぶことがあります。 以下は、自由度(11,7)の F 分布のグラフです。
F検定 （ F-test ）とは、分散比 F ＝ s 1 2 ／ s 2 2 を検定統計量とした検定です。 F 検定を行うと、散らばりに差があるかどうかが分かります。 つまり、帰無仮説は母分散が等しい、対立仮説は母分散が等しくない、とします。 そして、分散比 F が10倍や100倍という大きな数になったり、0.1倍や0.01倍という小さな数になったりして、有意水準未満の確率でしか発生しない場合（これを有意であると言います）、母分散が等しいという帰無仮説は棄却され、母分散が等しくないという対立仮説が採択されます。
前回、仮説検定は（1）信頼区間、（2）検定統計量、（3） p 値、のいずれかで行われると説明しました。 F 検定も基本的に同じなのですが、いくつかの注意点があります。
信頼区間による検定の場合、95%信頼区間に（ゼロではなく）1が入っていなければ、有意水準5%で有意であり、帰無仮説は棄却され、対立仮説が採択されます。
検定統計量による検定の場合、検定統計量は分散比 F です。 ただし、 F 分布は、正規分布や t 分布と違い、左右対称ではありません。 そのため、有意水準5%の両側検定を行う際には、 F 分布の上側2.5%点と下側2.5%点を別々に用意しておき、分散比 F が上側2.5%点より大きいか、下側2.5%点より小さいときに、有意水準5%で有意であり、帰無仮説は棄却され、対立仮説が採択されます。
p 値による検定の場合は、まったく同じで、 p 値が0.05未満であれば、有意水準5%で有意であり、帰無仮説は棄却され、対立仮説が採択されます。
したがって、統計解析ソフトが利用可能であれば、 p 値で検定を行うのが簡単です。
前回の授業では、対標本と2標本の違いについて説明しました。 同一人物の前後のデータなら対標本、他人同士のデータなら2標本です。 今日は、2標本のデータについて、母平均に差があるかどうかを検定してみます。
例えば、大都市の中学生と過疎地の中学生との間に、何か差があるかと考えます。 学力、体力、および部活動の3点に注目し、英語の得点、50m走のタイム、および部活動への参加率を標本調査したとします。
複数の標本の差を調べるとき、ドット・チャートを作成すると、視覚的に分かりやすくなります。 ここで、 ドット・チャート （ dot chart ）とは、 ドット・プロット （ dot plot ）とも呼ばれ、横軸をカテゴリー、縦軸を値にした散布図です。 ドット・チャートの点の集まりを見比べると、平均や散らばりの差が理解できます。 ドット・チャートの欠点は、重複した値が一つの点になってしまうことです。
ドット・チャートで大体の見当をつけたら、次に仮説検定を行います。 帰無仮説は大都市と過疎地には差がないとし、対立仮説は差があるとします。 2標本の場合、2つの差が余りにも大きく、有意水準未満の確率でしか発生しない場合（これを有意であると言います）、差がないという帰無仮説は棄却され、差があるという対立仮説が採択されます。 標本が小さいので、 t 検定を用います。
t 検定は、まず対標本か2標本かで分かれますが、2標本の場合も母分散が等しいか等しくないかで分かれます。 どの t 検定を利用するかは、以下のフローチャートに従ってください。
標本 X の大きさを n 1 , 平均を X , 標準偏差を s 1 , 標本 Y の大きさを n 2 , 平均を Y , 標準偏差を s 2 とします。 X と Y の母分散が等しい場合、「合併した標準偏差」
を定義すると、
は、自由度 n 1 ＋ n 2 −2の t 分布に従います。 したがって、検定統計量による検定なら、 t 統計量と両側5%点を比較すると、有意水準5%の両側検定が行えます。 t の定義式の分母は、2つの平均の差の標準誤差です。
母分散が等しくない場合は、 ウェルチの検定 （ Welch's test ）と呼ばれる方法で検定を行います。 ウェルチの検定の t 統計量は、数式が複雑なので省略します。 また、自由度も n 1 ＋ n 2 −2ではありません。 統計解析ソフトで計算してください。
母比率の差の検定というものも考えられます。
標本 X の大きさを n 1 , 比率を p 1 とし、標本 Y の大きさを n 2 , 比率を p 2 とします。 「合併した比率」 p を
と定義すると、
は、平均0、標準偏差1の正規分布に従うことが知られています。 したがって、 z の値と両側5%点を比較すると、有意水準5%の両側検定が行えます。
なお、 z の定義式の√( p ×(1− p ))を「合併した標準偏差」と見なし、分母を標準誤差と見なすと、母平均の差の検定と同じになります。
それでは、Excelを利用して、ドット・チャートを作成し、仮説検定を行いましょう。 以下のExcelファイルをダウンロードしてください。
表「英語の得点」は、大都市の中学生と過疎地の中学生との間で、英語の得点に差があるかどうかを標本調査したものです。
まず、ドット・チャートを作成します。
まず、適宜コピー・アンド・ペーストして、Excelのデータを以下のような形式に変更します。 （1は大都市、2は過疎地です。）
この表全体をドラッグし、リボンの「グラフ」（Windowsの場合は「挿入」）をクリックし、「グラフの挿入」項目で「散布図」→「散布図」とクリックします。 すると、ドット・チャートが表示されます。
リボンの「グラフ レイアウト」をクリックし、「ラベル」項目で「グラフタイトル」→「グラフの上」とクリックし、グラフ・タイトルを「英語の得点」に変更します。 「ラベル」項目で「軸ラベル」→「横軸ラベル」→「軸ラベルを軸の下に配置」とクリックし、軸ラベルを「地域」に変更します。 「ラベル」項目で「軸ラベル」→「縦軸ラベル」→「軸ラベルを垂直に配置」とクリックし、軸ラベルを「得点」に変更します。
横軸をダブル・クリックすると、「軸の書式設定」ウィンドウを開くので、「種類」タブ（Windowsの場合は「軸のオプション」タブ）をクリックし、「目盛の種類」項目と「軸ラベル」項目を「なし」にしてください。
縦軸をダブル・クリックすると、「軸の書式設定」ウィンドウを開くので、「目盛」タブ（Windowsの場合は「軸のオプション」タブ）をクリックし、「最小値」チェックボックスをオフにし、目盛の始まりの値（例えば60）を入力してください。
これで、ドット・チャートが完成します。
ドット・チャートを見ると、散らばりには差がなさそうですが、平均には差がありそうです。 散らばりに差があるか確かめるために F 検定を行い、その後、平均に差があるか確かめるために t 検定を行います。
まず、母分散が等しいかどうかを確かめるために、 F 検定を行います。 帰無仮説は母分散が等しいとし、対立仮説は母分散が等しくないとします。 有意水準5%で両側検定を行います。
統計解析ソフトを利用して、分散比 F , 分子の自由度、分母の自由度、 p 値を求め、Excelのハテナの部分に入力してください。 ただし、Excelの関数で、 F 検定の p 値だけは求めることができます。 関数の形式は、
FTEST(配列1,配列2)
です。
セルF5に=FTEST(B3:B14,C3:C10)と入力すると、 p 値0.56が得られます。
これは0.05以上なので、有意水準5%で有意ではなく、母分散が等しいという帰無仮説は棄却されず、母分散が等しくないという対立仮説も採択されません。 したがって、等分散を仮定します。 完成予定の表は次の通りです。
次に、等分散を仮定した t 検定を行います。 帰無仮説は英語の得点に差がないとし、対立仮説は英語の得点に差があるとします。 有意水準5%で両側検定を行います。
統計解析ソフトを利用して、 t 統計量、自由度、 p 値を求め、Excelのハテナの部分に入力します。 ただし、Excelの関数で、 t 検定の p 値だけは求めることができます。 関数の形式は、
TTEST(配列1,配列2,尾部,検定の種類)
です。 ここで、「尾部」は、片側検定なら1, 両側検定なら2です。 また、「検定の種類」は、対標本なら1, 等分散を仮定した2標本なら2, 分散が等しくないと仮定した2標本なら3です。
セルF10に=TTEST(B3:B14,C3:C10,2,2)と入力すると、 p 値0.02が得られます。
これは0.05未満なので、有意水準5%で有意であり、英語の得点に差がないという帰無仮説は棄却され、英語の得点に差があるという対立仮説が採択されます。 完成予定の表は次の通りです。
検定の結果: 英語の得点に差があると言える。
表「50m走のタイム」は、大都市の中学生と過疎地の中学生との間で、50m走のタイムに差があるかどうかを標本調査したものです。
英語の得点と同様に、ドット・チャートを作成します。
ドット・チャートを見ると、散らばりには差がありそうですが、平均には差がなさそうです。 英語の得点と同様に、 F 検定で母分散が等しいかを確かめ、 t 検定で母平均の差を確かめます。
まずは F 検定です。 帰無仮説は母分散が等しいとし、対立仮説は母分散が等しくないとします。 有意水準5%で両側検定を行います。
F 検定の完成予定の表は次の通りです。
p 値が0.05未満なので、有意水準5%で有意であり、母分散が等しいという帰無仮説は棄却され、母分散が等しくないという対立仮説が採択されます。 したがって、分散が等しくないと仮定します。
次は、分散が等しくないと仮定した t 検定です。 帰無仮説は50m走のタイムに差がないとし、対立仮説は50m走のタイムに差があるとします。 有意水準5%で両側検定を行います。
t 検定の完成予定の表は次の通りです。 もし、Excelで p 値を求めるなら、セルM10に=TTEST(I3:I14,J3:J10,2,3)と入力してください。
p 値が0.05以上なので、有意水準5%で有意ではなく、50m走のタイムに差がないという帰無仮説は棄却されず、50m走のタイムに差があるという対立仮説も採択されません。
検定の結果: 50m走のタイムに差があるとは言えない。
表「部活動への参加」は、大都市の中学生と過疎地の中学生との間で、部活動への参加率に差があるかどうかを標本調査したものです。 （比率のドット・チャートというものは、ありません。） 帰無仮説は部活動への参加率に差がないとし、対立仮説は部活動への参加率に差があるとします。 有意水準5%で両側検定を行います。 比率の検定については、Excelの関数で計算します。
まず、セルO5から下に、「比率」、「合併した比率」、「標準偏差」、「標準誤差」、「z」、「両側5%点」と入力します。 両側5%点の1.96も入力しておきます。
比率＝参加／総数、です。
合併した比率＝(総数1×比率1＋総数2×比率2)／(総数1＋総数2)、です。
標準偏差＝√(合併した比率×(1−合併した比率))、です。
標準誤差＝標準偏差×√(1／総数1＋1／総数2)、です。
z＝(比率1−比率2)／標準誤差、です。
z 統計量（の絶対値）が両側5%点より大きいので、有意水準5%で有意であり、部活動への参加率に差がないという帰無仮説は棄却され、部活動への参加率に差があるという対立仮説が採択されます。
検定の結果: 部活動への参加率に差があると言える。
「Rコマンダー」を利用すると、ドット・チャートの作成、 F 検定および t 検定が行えます。
まず、適宜コピー・アンド・ペーストして、Excelのデータを以下のような形式にします。 （areaは地域、scoreは英語の得点、cityは大都市、countryは過疎地です。）
このデータを「Rコマンダー」にインポートして、「Rコマンダー」ウィンドウで「グラフ」→「ドットチャート」とクリックします。 すると、「ドットチャート」ウィンドウが開くので、「因子」欄で「area」をクリックし、「目的変数」欄で「score」をクリックし、「積み重ねて」ラジオ・ボタンをオンにして、「OK」ボタンをクリックします。
すると、ドット・チャートが表示されます。
散らばりに差があるか確かめるために、 F 検定を行います。 「Rコマンダー」ウィンドウで、「統計量」→「分散」→「分散の比のF検定」とクリックします。 すると、「2つの分散の比のF検定」ウィンドウが開くので、「グループ」欄で「area」をクリックし、「目的変数」欄で「score」をクリックし、「両側」ラジオ・ボタンをオンにし、「信頼水準」入力欄に「.95」と入力して、「OK」ボタンをクリックします。
すると、「出力ウィンドウ」欄に、分散比 F （F）、分子の自由度（num df）、分母の自由度（denom df）、 p 値（p-value）が表示されます。 また、95%信頼区間（95 percent confidence interval）も表示されます。 p 値を見ると、0.05以上なので、有意水準5%で有意ではなく、母分散が等しいという帰無仮説は棄却されず、母分散が等しくないという対立仮説も採択されません。 F 検定の95%信頼区間については、1を含まなければ有意水準5%で有意です。 この場合は1を含むので、母分散が等しいという帰無仮説は棄却されず、母分散が等しくないという対立仮説も採択されません。
続いて、等分散を仮定した2標本の t 検定を行います。 「Rコマンダー」ウィンドウで、「統計量」→「平均」→「独立サンプルt検定」とクリックします。 すると、「独立サンプルt検定」ウィンドウが開くので、「グループ」欄で「area」をクリックし、「目的変数」欄で「score」をクリックし、「両側」ラジオ・ボタンをオンにし、「信頼水準」入力欄に「.95」と入力し、「等分散と考えますか?」の「Yes」ラジオ・ボタンをオンにして、「OK」ボタンをクリックします。
すると、「出力ウィンドウ」欄に、 t 統計量（t）、自由度（df）、 p 値（p-value）が表示されます。 また、95%信頼区間（95 percent confidence interval）も表示されます。 p 値を見ると、 p 値が0.05未満なので、有意水準5%で有意であり、英語の得点に差がないという帰無仮説は棄却され、英語の得点に差があるという対立仮説が採択されます。 信頼区間を見ると、95%信頼区間にゼロが入っていないので、有意水準5%で有意であり、英語の得点に差がないという帰無仮説は棄却され、英語の得点に差があるという対立仮説が採択されます。
50m走のタイムについても、英語の得点の場合と同じように、Excelのデータを以下のようにします。 （areaは地域、timeは50m走のタイム、cityは大都市、countryは過疎地です。）
このデータを「Rコマンダー」にインポートして、英語の得点の場合と同じように、ドット・チャートを作成します。
英語の得点の場合と同じように、 F 検定を行います。
p 値を見ると、0.05未満なので、有意水準5%で有意であり、母分散が等しいという帰無仮説は棄却され、母分散が等しくないという対立仮説が採択されます。 また、95%信頼区間を見ると、1を含まないので、有意水準5%で有意であり、母分散が等しいという帰無仮説は棄却され、母分散が等しくないという対立仮説が採択されます。
続いて、分散が等しくないと仮定した2標本の t 検定を行います。 等分散を仮定した場合と同じように操作しますが、「独立サンプルt検定」ウィンドウでは、「等分散と考えますか?」の「No」ラジオ・ボタンをオンにします。 「出力ウィンドウ」欄の p 値を見ると、 p 値が0.05以上なので、有意水準5%で有意ではなく、50m走のタイムに差がないという帰無仮説は棄却されず、50m走のタイムに差があるという対立仮説も採択されません。 信頼区間を見ると、95%信頼区間にゼロが入っているので、有意水準5%で有意ではなく、50m走のタイムに差がないという帰無仮説は棄却されず、50m走のタイムに差があるという対立仮説も採択されません。
注意:「Rコマンダー」では、変数がアルファベット順に並べ替えられるため、分散比 F が逆数になったり、 t 統計量がマイナスになることがあります。 その場合でも、 p 値は変わりません。
以下のファイルをダウンロードしてください。
（1）表「英語の得点」は、公立校の中学生と私立校の中学生との間で、英語の得点に差があるかどうかを標本調査したものです。 このデータのドット・チャートを作成してください。
（2）表「英語の得点」について、帰無仮説は英語の得点に差がないとし、対立仮説は英語の得点に差があるとします。 有意水準5%で両側検定を行い、検定の結果を答えてください。 検定は「分析ツール」、「StatPlus」、「Rコマンダー」のいずれかで行い、その出力をExcelのハテナの部分に入力してください。 「Rコマンダー」を利用する場合は、学校を「school」、公立校を「public」、私立校を「private」などに置き換えてください。
（3）表「50m走のタイム」は、公立校の中学生と私立校の中学生との間で、50m走のタイムに差があるかどうかを標本調査したものです。 このデータのドット・チャートを作成してください。
（4）表「50m走のタイム」について、帰無仮説は50m走のタイムに差がないとし、対立仮説は50m走のタイムに差があるとします。 有意水準5%で両側検定を行い、検定の結果を答えてください。 検定は「分析ツール」、「StatPlus」、「Rコマンダー」のいずれかで行い、その出力をExcelのハテナの部分に入力してください。
（5）表「部活動への参加」は、公立校の中学生と私立校の中学生との間で、部活動への参加率に差があるかどうかを標本調査したものです。 帰無仮説は部活動への参加率に差がないとし、対立仮説は部活動への参加率に差があるとします。 有意水準5%で両側検定を行い、検定の結果を答えてください。
今日の演習10の答案（Excelファイルと検定の結果）をメールで提出してください。 差出人は学内のメール・アドレス（学生番号@cis.twcu.ac.jp）とし、宛先はkonishi@cis.twcu.ac.jpとします。 メールの本文には、学生番号、氏名、科目名、授業日（12月2日）を明記してください。
「分析ツール」では、次の3種類の t 検定が利用可能です。
また、 F 検定については「F 検定: 2 標本を使った分散の検定」を利用します。
それでは、表「英語の得点」について、 F 検定を行ってから、 t 検定を行います。
リボンの「データ」をクリックし、「分析」項目の「データ分析」をクリックします。 すると、「データ分析」ウィンドウが開くので、「F 検定: 2 標本を使った分散の検定」をクリックして、「OK」ボタンをクリックします。
「変数 1 の入力範囲」に大都市のデータ$B$2:$B$14を入力し、「変数 2 の入力範囲」に過疎地のデータ$C$2:$C$10を入力します。 「ラベル」チェックボックスをオンにし、「α」入力欄に0.025を入力します。 「出力オプション」の「出力先」をクリックし、空いているセル（例えば$A$16）を入力します。
「観測された分散比」が分散比 F ,「自由度」の左側が分子の自由度、右側が分母の自由度、「P(F<=f) 片側」が p 値です。 ただし、この p 値は片側の確率なので、 p 値と0.025を比較するか、両側の p 値（2倍した値）と0.05を比較します。
結論としては、両側の p 値が0.05以上なので、有意水準5%で有意ではなく、母分散が等しいという帰無仮説は棄却されず、母分散が等しくないという対立仮説も採択されません。 したがって、等分散を仮定します。
t 検定の帰無仮説は英語の得点に差がない、対立仮説は英語の得点に差がある、でした。
リボンの「データ」をクリックし、「分析」項目の「データ分析」をクリックします。 すると、「データ分析」ウィンドウが開くので、「t 検定: 等分散を仮定した 2 標本による検定」をクリックして、「OK」ボタンをクリックします。
「変数 1 の入力範囲」に大都市のデータ$B$2:$B$14を入力し、「変数 2 の入力範囲」に過疎地のデータ$C$2:$C$10を入力します。 「仮説平均との差異」入力欄は空欄のままにし、「ラベル」チェックボックスをオンにし、「α」入力欄に0.05を入力します。 「出力オプション」の「出力先」をクリックし、空いているセル（例えば$A$27）を入力します。
「t」が t 統計量、「自由度」が自由度、「P(T<=t) 両側」が p 値です。
結論としては、 p 値が0.05未満なので、有意水準5%で有意であり、英語の得点に差がないという帰無仮説は棄却され、英語の得点に差があるという対立仮説が採択されます。 したがって、英語の得点に差があると言えます。
表「50m走のタイム」についても、 F 検定と t 検定を行います。
英語の得点と同じように F 検定を行うと、次のようになります。
両側の（2倍した） p 値が0.05未満なので、有意水準5%で有意であり、母分散が等しいという帰無仮説は棄却され、母分散が等しくないという対立仮説が採択されます。 したがって、分散が等しくないと仮定します。
t 検定の帰無仮説は50m走のタイムに差がない、対立仮説は50m走のタイムに差がある、でした。 英語の得点と同じように t 検定を行うのですが、「t 検定: 分散が等しくないと仮定した 2 標本による検定」を利用します。
p 値が0.05以上なので、有意水準5%で有意ではなく、50m走のタイムに差がないという帰無仮説は棄却されず、50m走のタイムに差があるという対立仮説も採択されません。 したがって、50m走のタイムに差があるとは言えません。
「StatPlus」を利用すると、 F 検定および t 検定が行えます。
「StatPlus」を起動し、メニューバーで「Statistics」→「Basic Statistics and Tables」→「F-Test for Variances」とクリックします。 すると、「F-Test」ウィンドウが開くので、「Variable #1」入力欄の右のボタンをクリックし、一方のデータの範囲（セルB2からB14まで）をドラッグし、「F-Test」ウィンドウをクリックします。 同様に、「Variable #2」入力欄の右のボタンをクリックし、もう一方のデータの範囲（セルC2からC10まで）をドラッグし、「F-Test」ウィンドウをクリックします。 「Labels in first row」チェックボックスをオンにして、「OK」ボタンをクリックします。
すると、新しくExcelのウィンドウが開き、表「Summary」の「F」項目に分散比 F が表示され、「p-level 2-tailed」項目に p 値が表示されます。 自由度は表示されないので、分子の自由度＝大都市の標本の大きさ−1、分母の自由度＝過疎地の標本の大きさ−1、で求めます。
メニューバーで「Statistics」→「Basic Statistics and Tables」→「Comparing Means (T-test)」とクリックします。 すると、「Compare Means」ウィンドウが開くので、対標本の場合と同じように入力します。 ただし、等分散を仮定した場合は、「T-Test Type」メニューを「Two-Sample T-Test Assuming Equal Variances (homoscedastic)」にします。
すると、新しくExcelのウィンドウが開き、表「Summary」の「Test Statistics」項目に t 統計量が、「Degree Of Freedom」項目に自由度が表示されます。 また、表「Two-tailed distribution」の「p-level」項目に p 値が表示されます。
表「50m走のタイム」についても、同じように F 検定ができます。
t 検定については、分散が等しくないと仮定した場合は、「T-Test Type」メニューを「Two-Sample T-Test Assuming Unequal Variances (heteroscedastic)」にします。
