情報処理技法（統計解析）第7回

確率分布

確率分布とは

今日は、記述統計学と統計的推測の中間的な話をします。 特に、確率に関する専門用語を定義します。

サイコロの目のように、確率的に決まる変数を、 確率変数 （ random variable ）と呼びます。 そして、確率変数の値とその確率との対応を、その確率変数の 確率分布 （ probability distribution ）と呼びます。

以下は、サイコロを1つ振ったときの目の確率分布（表とグラフ）です。

サイコロを2つ振ったときの、出た目の和の確率分布は次の通りです。

確率密度関数

サイコロの目のように、離散型データなら確率分布の表は作成できますが、連続型データの場合、確率分布の表は作成できません。 例えば、身長は連続型データですが、身長が160.000000...cmピッタリとなる確率は0でしょう。 そこで、確率密度関数というものを考えます。

確率密度関数 （ probability density function ）とは、そのグラフの a から b までの面積が、 x が a ≦ x ≦ b である確率と一致するような関数です。 確率密度関数 f ( x )の x における値を、 x の 確率密度 （ probability density ）と呼びます。

正規分布

正規分布とは

正規分布 （ normal distribution ）は、連続型データでは、最も代表的な確率分布です。 正規分布の確率密度関数は

と定義されます。 ここで、μは平均、σは標準偏差で、exp( x )＝ e ^x です。 図で表すと以下のようになります。

特に、平均μ＝0, 標準偏差σ＝1である正規分布は、 標準正規分布 （ standard normal distribution ）と呼ばれます。 この確率密度関数は

となり、図は以下の通りです。

正規分布の特徴

正規分布には以下の特徴があります。

• 平均を中心として、左右対称です。
• 平均の確率密度が最も高く、平均から離れるほど確率密度が低くなります。

平均をμ、標準偏差をσとして、変数の値がμ−σ以上μ＋σ以下の範囲（1シグマ範囲といいます）に入る確率は、0.6827（約68%）です。

μ−2σ以上μ＋2σ以下の範囲（2シグマ範囲といいます）に入る確率は、0.9545（約95%）です。

μ−3σ以上μ＋3σ以下の範囲（3シグマ範囲といいます）に入る確率は、0.9973（約100%）です。

次に、この逆を考えます。 つまり、切りのよい範囲に入る確率を考えるのではなく、切りのよい確率になるような範囲を考えます。

左右対称で、入る確率が95%（入らない確率が5%）となるような変数の値の範囲は、μ−1.960σ以上μ＋1.960σ以下です。 この1.960を、両側5%点と言います。

左を区切らないで、入る確率が95%（入らない確率が5%）となるような変数の値の範囲は、μ＋1.645σ以下です。 この1.645を、上側5%点と言います。

右を区切らないで、入る確率が95%（入らない確率が5%）となるような変数の値の範囲は、μ−1.645σ以上です。 この1.645を、下側5%点と言います。

両側α%点、上側α%点、下側α%点（まとめてパーセント点と呼びます）については、次の関係があります。

• 確率分布が左右対称ならば、両側α%点＝上側α／2%点です。
• 確率分布が左右対称ならば、下側α%点＝上側α%点です。

したがって、確率分布が左右対称ならば、上側のパーセント点が分かれば、残りのパーセント点も計算できます。

Excelによる正規分布

Excelには正規分布に関する関数がいくつか用意されています。 最初に利用するのはNORMDIST関数です。 （正規分布は英語でnormal distributionです。） 変数の値 x , 平均μ, 標準偏差σに対して、

で、変数の値が x 以下になる確率が計算されます。

例として、2シグマ範囲に入る確率が約95%であることを確認します。 平均μ＝0, 標準偏差σ＝1とすると、2シグマ範囲は−2以上2以下となります。 変数の値が−2以上2以下になる確率は、直接は求められないので、まず2以下になる確率を求めます。

では、Excelを起動してください。 すると、新しいウィンドウが開くので、セルA1に

と入力すると、（四捨五入して）0.977と表示されます。

変数の値が2以下になる確率が0.977なので、2より大きくなる確率は1−0.977＝0.023です。 標準正規分布は0を中心にして左右対称なので、−2より小さくなる確率も0.023です。 したがって、−2以上2以下になる確率は、1−0.023−0.023＝0.954となり、2シグマ範囲に入る確率が約95%であることが確かめられます。

次に利用するのはNORMINV関数です。 （INVは逆関数inverseから来ています。） 確率 p , 平均μ, 標準偏差σに対して、

で、変数の値が x 以下になる確率が p である x が計算されます。

例として、両側5%点が1.960であることを確認します。 両側5%点＝上側2.5%点なので、変数の値が x 以下になる確率が97.5%である x を求めます。 x ＝平均＋上側2.5%点×標準偏差、ですが、平均を0, 標準偏差を1とすると、 x ＝上側2.5%点＝両側5%点、となります。

ExcelのウィンドウのセルA1に

と入力すると、（四捨五入して）1.960と表示されます。

正規分布のグラフを作成するときも、NORMDIST関数を用います。 変数の値 x , 平均μ, 標準偏差σに対して、

で、 x の確率密度が計算されます。

それでは、正規分布のグラフを作成しましょう。 厚生労働省の国民健康栄養調査（平成20年）によると、20歳以上の日本人の身長と体重は以下の通りです。 ここでは、身長と体重の確率分布が正規分布であると仮定します。 次のExcelファイルをダウンロードしてください。

まず、セルA6から右に「身長」、「男性」、「女性」と入力します。 セルA7から下に連続データ（140〜180）を入力するために、「140」と入力し、フィル・ハンドルをセルA47までドラッグします。

「オートフィルオプション」ボタンをクリックして、「連続データ」をクリックすれば、ドラッグした範囲が連続データになります。

セルB7に数式=NORMDIST($A7,B$3,B$4,FALSE)を入力し、セルの書式設定でパーセンテージ（小数点以下2桁）にし、セルC47までコピー・アンド・ペーストします。 これで、確率密度が計算できます。

続いて、この確率密度を折れ線グラフにします。 A列がデータのように見えるので、セルB6からC47までをドラッグし、リボンの「グラフ」（Windowsの場合は「挿入」）をクリックし、「グラフの挿入」項目で「折れ線」→「折れ線」とクリックします。 すると、折れ線グラフが表示されます。

リボンの「グラフ レイアウト」をクリックし、「グラフタイトル」項目の「グラフの上」をクリックし、グラフ・タイトルを「20歳以上の日本人の身長」に変更します。 「ラベル」項目で「軸ラベル」→「横軸ラベル」→「軸ラベルを軸の下に配置」とクリックし、軸ラベルを「身長（cm）」に変更します。 「ラベル」項目で「軸ラベル」→「縦軸ラベル」→「軸ラベルを垂直に配置」とクリックし、軸ラベルを「確率密度」に変更します。

プロット・エリアを右クリックし、「グラフ データの選択」（Windowsの場合は「データの選択」）をクリックして、「グラフデータの選択」ウィンドウを開きます。 （Windowsの場合は「データソースの選択」ウィンドウが開くので、「横（項目）軸ラベル」の「編集」ボタンをクリックして、「軸ラベル」ウィンドウを開きます。）

「X/項目軸のラベル」入力欄（Windowsの場合は「軸ラベルの範囲」入力欄）の右側のボタンをクリックし、身長の範囲（セルA7からA47まで）をドラッグし、同じボタンをクリックし、「OK」ボタンをクリックします。

（Windowsの場合は、再び「データソースの選択」ウィンドウが開くので、「OK」ボタンをクリックします。） すると、横軸のラベルが身長になります。

これを見ると、女性は男性より身長が低いものの、散らばりは同じくらいであることが分かります。

体重についても、同じように、確率密度を計算して表にまとめ、グラフにしてみます。 体重の範囲は、35kgから85kgまでとします。

これを見ると、女性は男性より体重が軽く、散らばりも小さいことが分かります。

Rコマンダーによる正規分布

「Rコマンダー」なら、ExcelのNORMDIST関数やNORMINV関数が、マウスの操作で計算できます。

まず、「Rコマンダー」を起動します。 ExcelのNORMDIST関数の場合は、「Rコマンダー」ウィンドウで、「分布」→「連続分布」→「正規分布」→「正規分布の確率」とクリックします。 すると、「正規確率」ウィンドウが開くので、平均が0, 標準偏差が1で、変数の値が2以下になる確率を求めたければ、それぞれの値を入力し、「下側確率」ラジオ・ボタンをオンにして、「OK」ボタンをクリックします。

すると、「出力ウィンドウ」に確率が表示されます。

ExcelのNORMINV関数の場合は、「Rコマンダー」ウィンドウで、「分布」→「連続分布」→「正規分布」→「正規分布の分位点」とクリックします。 すると、「正規分布の分位点」ウィンドウが開くので、平均が0, 標準偏差が1で、変数の値が x 以下になる確率が0.975である x を求めたければ、それぞれの値を入力し、「下側確率」ラジオ・ボタンをオンにして、「OK」ボタンをクリックします。

すると、「出力ウィンドウ」に変数の値が表示されます。

「Rコマンダー」なら、正規分布のグラフも、マウスの操作で作成できます。

「Rコマンダー」ウィンドウで、「分布」→「連続分布」→「正規分布」→「正規分布を描く」とクリックします。 すると、「正規分布」ウィンドウが開くので、平均と標準偏差を入力し、「密度関数をプロット」ラジオ・ボタンをオンにして、「OK」ボタンをクリックします。

すると、正規分布のグラフが表示されます。

演習7

厚生労働省の国民健康栄養調査（平成20年）によると、日本人女性（11歳、14歳、17歳）の身長と体重は以下の通りです。 このデータをまとめたExcelファイルをダウンロードしてください。

（1）身長の確率分布を正規分布と仮定して、身長135cmから170cmまでの範囲で確率密度を計算し、表にまとめてください。

（2）身長の確率密度を折れ線グラフにしてください。

（3）体重の確率分布を正規分布と仮定して、体重25kgから65kgまでの範囲で確率密度を計算し、表にまとめてください。

（4）体重の確率密度を折れ線グラフにしてください。

レポート課題

今日の演習7の答案（Excelファイル）をメールで提出してください。 差出人は学内のメール・アドレス（k12x1001@cis.twcu.ac.jpなど）とし、宛先はkonishi@cis.twcu.ac.jpとします。 メールの本文には、学生番号、氏名、科目名、授業日（11月12日）を明記してください。

参考文献

• 大森崇、阪田真己子、宿久洋『R Commanderによるデータ解析』共立出版、2011.
• 国民健康・栄養調査｜厚生労働省
  http://www.mhlw.go.jp/bunya/kenkou/kenkou_eiyou_chousa.html
• 東京大学教養学部統計学教室『統計学入門』東京大学出版会、1991.
• 涌井良幸、涌井貞美『Excelで学ぶ統計解析』ナツメ社、2003.