前回は、分散分析について説明しました。 その中で、因子（データに影響を与える要因）が2種類のときは、二元配置と呼ぶと言いました。 今日は、二元配置の分散分析を行います。
次の例を考えます。
あるパソコン・スクールでは、タイピング練習ソフトとして、A, B, C, Dの4種類を用意しています。 また、練習方法として、
の3種類を用意しています。 パソコン初心者12人を選び、ソフトと練習方法を変えて練習してもらい、その後、タイプ速度（1分間に打てる文字数）を測定したところ、以下のようになったとします。
この例は、ソフトと練習方法の違いが、タイプ速度に影響を与えるかどうかを考えています。 したがって、因子は2種類で、二元配置となります。
この例は、2因子（ソフトと練習方法）の組み合わせごとに、データが1つだけです。 このようなデータを、 繰り返しのない二元配置 （ two-way layout without replication ）と呼びます。 2因子の組み合わせごとに、データが複数ある場合は、 繰り返しのある二元配置 （ two-way layout with replication ）と呼ばれます。
分散分析は、まず一元配置か二元配置かで分かれますが、二元配置の場合も繰り返しがあるかないかで分かれます。 どの分散分析を利用するかは、以下のフローチャートに従ってください。
さて、上記の例で、平均を見てみましょう。 練習方法1の平均は132文字/分、練習方法2の平均は107文字/分、練習方法3の平均は86文字/分です。 練習方法の違いによる速度差は、多少ありそうです。 一方、ソフトAの平均は109文字/分、ソフトBの平均は96文字/分、ソフトCの平均は113文字/分、ソフトDの平均は115文字/分です。 ソフトの違いによる速度差は、あまり無さそうです。
一元配置の分散分析では、変動を
全体の変動＝水準間の変動＋水準内の変動
と分解しました。 ここで、変動（平方和とも呼ばれる）とは偏差（平均との差）の2乗の和のことで、水準とは因子の項目のことでした。
これに対して、二元配置の分散分析では、
全体の変動＝因子1の水準間の変動＋因子2の水準間の変動＋統計的誤差による変動
と分解します。 分解した後は、一元配置と同じように、それぞれの変動から分散を求め、分散比 F を求めて F 検定を行います。 （詳細は省略します。）
繰り返しのある二元配置では、変動の分解がさらに複雑になります。
全体の変動＝因子1の水準間の変動＋因子2の水準間の変動＋交互作用による変動＋統計的誤差による変動
ここで、 交互作用 （ interaction ）とは、一つ一つの因子ではなく、2因子の組み合わせによって、データに影響を与えることです。 もし交互作用が存在すると、個別の因子についての分散分析は無意味になってしまいます。
上記の例を、繰り返しのある二元配置にすると、次のようになります。
ソフトと練習方法の組み合わせによる速度差（交互作用）があるかもしれないので、パソコン初心者24人を選び、ソフトと練習方法を変えて練習してもらい、その後、タイプ速度を測定したところ、以下のようになったとします。
それでは、Excelを利用して、分散分析を行いましょう。 以下のExcelファイルをダウンロードしてください。
comp2j_12_data.xlsx分散分析を行う前に、ドット・チャートを作成して、練習方法やソフトの違いによる速度差があるかどうか、視覚的に把握します。 最初は「繰り返しなし」の表についてです。 表の形式から、ソフトについてなら前々回と同じように作成できます。 見たところ、ソフトの違いによる速度差はなさそうです。
練習方法についてのドット・チャートを作成するために、元の表の行と列を入れ替えたものが欲しいです。 そこで、表全体（セルA2からE5まで）をドラッグし、右クリックして「コピー」をクリックし、適当な余白（例えばセルA22）を右クリックして「形式を選択してペースト」をクリックし、「行列を入れ替える」チェックボックスをオンにします。
すると、行列を入れ替えた表がペーストされます。
後は、前々回と同じように、練習方法についてのドット・チャートを作成します。 見たところ、練習方法の違いによる速度差はありそうです。
次に、「繰り返しあり」の表についても、ドット・チャートを作成します。 やはり、ソフトの違いによる速度差はなさそうです。
同じように、行列を入れ替えた表を作り、同じ練習方法を一列にまとめて、練習方法についてのドット・チャートも作成します。 練習方法の違いによる速度差は、同じくありそうです。
それでは、「繰り返しなし」の表について、分散分析を行います。
有意水準5%で分散分析を行い、帰無仮説 H 10 および H 20 が棄却されるかどうかを考えます。 前回と同様、統計解析ソフトを利用して、その出力をExcelのハテナの部分に入力します。 今までのように、小数点以下2桁に統一する必要はなく、有効桁数3桁程度でよいです。 分散分析表の完成予定図は以下の通りです。
練習方法の違いによる速度差については、 p 値が0.05未満なので、帰無仮説 H 10 は棄却されます。 したがって、タイピングには練習方法の違いによる速度差があると言えます。
ソフトの違いによる速度差については、 p 値が0.05以上なので、帰無仮説 H 20 は棄却されません。 したがって、タイピングにソフトの違いによる速度差があるとは言えません。
次に、「繰り返しあり」の表について、分散分析を行います。
有意水準5%で分散分析を行い、帰無仮説 H 10 , H 20 および H 30 が棄却されるかどうかを考えます。 分散分析表の完成予定図は以下の通りです。
練習方法の違いによる速度差については、 p 値が0.05未満なので、帰無仮説 H 10 は棄却されます。 したがって、タイピングには練習方法の違いによる速度差があると言えます。
ソフトの違いによる速度差については、 p 値が0.05以上なので、帰無仮説 H 20 は棄却されません。 したがって、タイピングにソフトの違いによる速度差があるとは言えません。
交互作用（ソフトと練習方法の組み合わせ）による速度差については、 p 値が0.05以上なので、帰無仮説 H 30 は棄却されません。 したがって、タイピングにソフトと練習方法の交互作用があるとは言えません。
「分析ツール」を利用すると、二元配置の分散分析が行えます。
最初は「繰り返しなし」の表についてです。 リボンの「データ」をクリックし、「分析」項目の「データ分析」をクリックします。 すると、「分析ツール」ウィンドウが開くので、「分散分析: 繰り返しのない二元配置」をクリックして、「OK」ボタンをクリックします。
「入力範囲」にはデータの範囲（$A$2:$E$5）を入力し、「ラベル」のチェックボックスをオンにし、「α」が「0.05」であることを確認し、「出力先」をクリックして、空いているセル（例えば$A$8）を入力します。
すると、分散分析表が出力されます。
練習方法については、「行」の部分を見ます。 p 値が0.05未満なので、練習方法の違いによる速度差があると言えます。 ソフトについては、「列」の部分を見ます。 p 値が0.05以上なので、ソフトの違いによる速度差があるとは言えません。
次は「繰り返しあり」の表についてです。 リボンの「データ」をクリックし、「分析」項目の「データ分析」をクリックします。 すると、「分析ツール」ウィンドウが開くので、「分散分析: 繰り返しのある二元配置」をクリックして、「OK」ボタンをクリックします。
「入力範囲」にはデータの範囲（$N$2:$R$8）を入力し、「1標本あたりの行数」に「2」と入力し、「α」が「0.05」であることを確認し、「出力先」をクリックして、空いているセル（例えば$N$10）を入力します。
すると、分散分析表が出力されます。
練習方法については、「標本」の部分を見ます。 p 値が0.05未満なので、練習方法の違いによる速度差があると言えます。 ソフトについては、「列」の部分を見ます。 p 値が0.05以上なので、ソフトの違いによる速度差があるとは言えません。 交互作用（ソフトと練習方法の組み合わせ）については、 p 値が0.05以上なので、ソフトと練習方法の交互作用があるとは言えません。
「StatPlus」を利用すると、二元配置の分散分析が行えます。 その前に、データの形式を以下のように変更します。 練習方法の列、ソフトの列、タイプ速度の列を指定するのですが、練習方法の列とソフトの列は数値化する必要があるのです。 （exerciseは練習方法、softwareはソフト、speedは速度です。）
「StatPlus」を起動し、メニューバーで「Statistics」→「Analysis of Variance (ANOVA)」→「Two-way ANOVA」とクリックします。 すると、「ANOVA」ウィンドウが開くので、「Response」入力欄の右のボタンをクリックし、目的変数（speed）の範囲（セルI8からI20まで）をドラッグし、「ANOVA」ウィンドウをクリックします。 「Factor #1」入力欄の右のボタンをクリックし、第1因子（exercise）の範囲（セルK8からK20まで）をドラッグし、「ANOVA」ウィンドウをクリックし、ポップアップ・メニューを「Fixed」にします。 同様に、「Factor #2」入力欄の右のボタンをクリックし、第2因子（software）の範囲（セルL8からL20まで）をドラッグし、「ANOVA」ウィンドウをクリックし、ポップアップ・メニューを「Fixed」にします。 「Labels in first row」チェックボックスをオンにして、「Advanced Options」ボタンをクリックします。
すると、「ANOVA - Advanced Options」ウィンドウが開くので、（繰り返しのない場合は交互作用がないので、）「No Interaction(s) (Randomized block design)」チェックボックスをオンにして、「OK」ボタンをクリックします。
最後に、「ANOVA」ウィンドウの「OK」ボタンをクリックします。 すると、新しくExcelのウィンドウが開き、分散分析表（ANOVA）が表示されます。 表の列は、変動（SS）、自由度（d.f.）、分散（MS）、分散比 F （F）、 p 値（p-level）で、表の行は、練習方法（exercise）、ソフト（software）、誤差（Within Groups）、合計（Total）です。
練習方法の p 値が0.05未満なので、練習方法の違いによる速度差があると言えます。 ソフトの p 値が0.05以上なので、ソフトの違いによる速度差があるとは言えません。
繰り返しのある二元配置についても、同じようにデータ形式を変更し、同じように操作します。 ただし、繰り返しのある場合は交互作用があるので、「ANOVA - Advanced Options」ウィンドウでは「No Interaction(s) (Randomized block design)」チェックボックスをオフにします。
分散分析表（ANOVA）では、表の行に交互作用（exercise x software）が追加されます。
練習方法の p 値が0.05未満なので、練習方法の違いによる速度差があると言えます。 ソフトの p 値が0.05以上なので、ソフトの違いによる速度差があるとは言えません。 交互作用の p 値が0.05以上なので、練習方法とソフトの交互作用があるとは言えません。
「Rコマンダー」を利用すると、ドット・チャートの作成と、二元配置の分散分析が行えます。
まず、適宜コピー・アンド・ペーストして、Excelのデータを以下のような形式にします。 （exerciseは練習方法、softwareはソフト、speedは速度です。）
このデータを「Rコマンダー」にインポートし、前回と同じようにドット・チャートを作成するのですが、「ドットチャート」ウィンドウの「因子」項目では「exercise」をクリックします。
すると、練習方法についてのドット・チャートが表示されます。 ドット・チャートを見ると、練習方法による速度差はありそうです。
「ドットチャート」ウィンドウの「因子」項目で「software」をクリックすると、ソフトについてのドット・チャートが表示されます。 ドット・チャートを見ると、ソフトによる速度差はなさそうです。
二元配置の分散分析を行うには、「Rコマンダー」ウィンドウで、「統計量」→「平均」→「多元配置分散分析」とクリックします。 ただし、繰り返しのない場合はエラーが発生します。 これは、繰り返しのない場合は交互作用が存在しないのに、初期設定では交互作用を含むからです。
交互作用を含まないようにするには、「Rコマンダー」ウィンドウで、「統計量」→「モデルへの適合」→「線形モデル」とクリックします。 すると、「線形モデル」ウィンドウが開きます。 この「モデル式」の「*」記号が、交互作用を含むという意味です。 これを「+」記号に置き換えると、交互作用を含まなくなります。 記号を置き換えたら、「OK」ボタンをクリックしてください。
続いて、「Rコマンダー」ウィンドウで、「モデル」→「仮説検定」→「分散分析表」とクリックします。 すると、「ANOVA Table」ウィンドウが表示されるので、「Type II」ラジオ・ボタンがオンになっていることを確認して、「OK」ボタンをクリックします。
すると、「出力ウィンドウ」欄に分散分析表が表示されます。 表の列は、変動（Sum Sq）、自由度（Df）、分散比 F （F value）、 p 値（Pr(>F)）で、表の行は、練習方法（exercise）、ソフト（software）、誤差（Residuals）です。 分散の列が省略されていますが、分散＝変動／自由度、なので、Excelの数式で計算してください。 また、合計の行も省略されていますが、これもExcelの数式で計算してください。
練習方法の p 値が0.05未満なので、練習方法の違いによる速度差があると言えます。 ソフトの p 値が0.05以上なので、ソフトの違いによる速度差があるとは言えません。
繰り返しのある場合は、交互作用を含んでよいので、「Rコマンダー」ウィンドウで、「統計量」→「平均」→「多元配置分散分析」とクリックします。 すると、「多元配置分散分析」ウィンドウが開くので、「因子」項目で「exercise」をクリックし、shiftキーを押しながら「software」をクリックし、「目的変数」項目で「speed」をクリックして、「OK」ボタンをクリックします。
分散分析表では、表の行に交互作用（exercise:software）が追加されます。
練習方法の p 値が0.05未満なので、練習方法の違いによる速度差があると言えます。 ソフトの p 値が0.05以上なので、ソフトの違いによる速度差があるとは言えません。 交互作用の p 値が0.05以上なので、練習方法とソフトの交互作用があるとは言えません。
以下のExcelファイルをダウンロードしてください。
comp2j_12_report.xlsx（1）ある資格取得スクールでは、ある資格試験のテキストとして、A, B, C, Dの4種類を用意しています。 また、時間割として、
の3種類を用意しています。 まだ資格試験の勉強をしていない12人を選び、テキストと時間割を変えて授業を受けてもらい、その後に模擬試験を実施したところ、「繰り返しなし」の表のようになりました。 テキストおよび時間割についてのドット・チャートを作成してください。
（2）「繰り返しなし」の表について、
有意水準5%で分散分析を行い、帰無仮説 H 10 および H 20 が棄却されるかどうかと、分析の結果を答えてください。 分析は「分析ツール」、「StatPlus」、「Rコマンダー」のいずれかで行い、その出力をExcelのハテナの部分に入力してください。 「Rコマンダー」を利用する場合は、時間割を「schedule」、テキストを「textbook」、得点を「score」などに置き換えてください。
（3）交互作用（テキストと時間割の組み合わせ）による得点差があるかもしれないので、まだ資格試験の勉強をしていない24人を選び、テキストと時間割を変えて授業を受けてもらい、その後に模擬試験を実施したところ、「繰り返しあり」の表のようになりました。 テキストおよび時間割についてのドット・チャートを作成してください。
（4）「繰り返しあり」の表について、
有意水準5%で分散分析を行い、帰無仮説 H 10 , H 20 および H 30 が棄却されるかどうかと、分析の結果を答えてください。 分析は「分析ツール」、「StatPlus」、「Rコマンダー」のいずれかで行い、その出力をExcelのハテナの部分に入力してください。 「Rコマンダー」を利用する場合は、時間割を「schedule」、テキストを「textbook」、得点を「score」などに置き換えてください。
今日の演習12の答案（Excelファイルと検定の結果）をメールで提出してください。 差出人は学内のメール・アドレス（k12x1001@cis.twcu.ac.jpなど）とし、宛先はkonishi@cis.twcu.ac.jpとします。 メールの本文には、学生番号、氏名、科目名、授業日（12月12日）を明記してください。