今日は、記述統計学と統計的推測の中間的な話をします。 特に、確率に関する専門用語を定義します。
サイコロの目のように、確率的に決まる変数を、 確率変数 （ random variable ）と呼びます。 そして、確率変数の値とその確率との対応を、その確率変数の 確率分布 （ probability distribution ）と呼びます。
以下は、サイコロを1つ振ったときの目の確率分布（表とグラフ）です。
| 目 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 確率 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
サイコロを2つ振ったときの、出た目の和の確率分布は次の通りです。
| 目の和 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 確率 | 1/36 | 2/36 | 3/36 | 4/36 | 5/36 | 6/36 | 5/36 | 4/36 | 3/36 | 2/36 | 1/36 |
サイコロの目のように、離散型データなら確率分布の表は作成できますが、連続型データの場合、確率分布の表は作成できません。 例えば、身長は連続型データですが、身長が160.000000...cmピッタリとなる確率は0でしょう。 そこで、確率密度関数というものを考えます。
確率密度関数 （ probability density function ）とは、そのグラフの a から b までの面積が、 x が a ≦ x ≦ b である確率と一致するような関数です。 確率密度関数 f ( x )の x における値を、 x の 確率密度 （ probability density ）と呼びます。
正規分布 （ normal distribution ）は、連続型データでは、最も代表的な確率分布です。 正規分布の確率密度関数は
と定義されます。 ここで、μは平均、σは標準偏差で、exp( x )＝ e x です。 図で表すと以下のようになります。
特に、平均μ＝0, 標準偏差σ＝1である正規分布は、 標準正規分布 （ standard normal distribution ）と呼ばれます。 この確率密度関数は
となり、図は以下の通りです。
正規分布には以下の特徴があります。
変数の値が、平均μのプラスマイナス標準偏差σの範囲（1シグマ範囲といいます）に入る確率は、0.6827（約68%）です。
μ±2σの範囲（2シグマ範囲といいます）に入る確率は、0.9545（約95%）です。
μ±3σの範囲（3シグマ範囲といいます）に入る確率は、0.9973（約100%）です。
次に、この逆を考えます。 つまり、切りのよい範囲に入る確率を考えるのではなく、切りのよい確率になるような範囲を考えます。
左右対称で、入る確率が95%（入らない確率が5%）となるような変数の値の範囲は、μ−1.960σ以上μ＋1.960σ以下です。 この1.960を、両側5%点と言います。
変数の値が x 以下となる確率が95%（そうでない確率が5%）となるような範囲は、μ＋1.645σ以下です。 この1.645を、上側5%点と言います。 確率分布が左右対称ならば、上側α%点＝両側2α%点です。
変数の値が x 以上となる確率が95%（そうでない確率が5%）となるような範囲は、μ−1.645σ以上です。 この1.645を、下側5%点と言います。 確率分布が左右対称ならば、下側α%点＝上側α%点です。
Excelには正規分布に関する関数がいくつか用意されています。 最初に利用するのはNORMDIST関数です。 （正規分布は英語でnormal distributionです。） 変数の値 x , 平均μ, 標準偏差σに対して、
で、変数の値が x 以下になる確率が計算されます。
例として、2シグマ範囲に入る確率が約95%であることを確認します。 平均μ＝0, 標準偏差σ＝1とすると、2シグマ範囲μ±2σは−2以上2以下となります。 したがって、変数の値が2以下になる確率 p を求めれば、分布が左右対称なので、−2以上2以下になる確率は2 p −1です。
では、Excelを起動してください。 すると、新しいウィンドウが開くので、セルA1に
と入力すると、0.977...と表示されます。
2×0.977−1＝0.954なので、2シグマ範囲に入る確率が約95%であることが確かめられます。
次に利用するのはNORMINV関数です。 （INVは逆関数inverseから来ています。） 確率 p , 平均μ, 標準偏差σに対して、
で、変数の値が x 以下になる確率が p である x が計算されます。
例として、両側5%点が1.960であることを確認します。 両側5%点は、上側2.5%点なので、変数の値が x 以下になる確率が97.5%である x を求めます。
ExcelのウィンドウのセルA1に
と入力すると、（四捨五入して）1.960と表示されます。
正規分布のグラフを作成するときも、NORMDIST関数を用います。 変数の値 x , 平均μ, 標準偏差σに対して、
で、 x の確率密度が計算されます。
それでは、正規分布のグラフを作成しましょう。 厚生労働省の国民健康栄養調査（平成20年）によると、20歳以上の日本人の身長と体重は以下の通りです。 ここでは、身長と体重の確率分布が正規分布であると仮定します。 次のExcelファイルをダウンロードしてください。
| 性別 | 男性 | 女性 |
|---|---|---|
| 平均 | 166.6 | 153.4 |
| 標準偏差 | 7.2 | 7.1 |
| 性別 | 男性 | 女性 |
|---|---|---|
| 平均 | 65.3 | 52.7 |
| 標準偏差 | 10.7 | 8.8 |
まず、セルA6から右に「身長」、「男性」、「女性」と入力します。 セルA7から下に連続データ（140〜180）を入力するために、「140」と入力し、フィル・ハンドルをセルA47までドラッグします。
「オートフィルオプション」ボタンをクリックして、「連続データ」をクリックすれば、ドラッグした範囲が連続データになります。
セルB7に数式=NORMDIST($A7,B$3,B$4,FALSE)を入力し、セルの書式設定でパーセンテージ（小数点以下2桁）にし、セルC47までコピー・アンド・ペーストします。 これで、確率密度が計算できます。
続いて、この確率密度を折れ線グラフにします。 A列がデータのように見えるので、セルB6からC47までをドラッグし、リボンの「グラフ」（Windowsの場合は「挿入」）をクリックし、「グラフの挿入」項目で「折れ線」→「折れ線」とクリックします。 すると、折れ線グラフが表示されます。
リボンの「グラフ レイアウト」をクリックし、「グラフタイトル」項目の「グラフの上」をクリックし、グラフ・タイトルを「20歳以上の日本人の身長」に変更します。 「ラベル」項目で「軸ラベル」→「横軸ラベル」→「軸ラベルを軸の下に配置」とクリックし、軸ラベルを「身長（cm）」に変更します。 「ラベル」項目で「軸ラベル」→「縦軸ラベル」→「軸ラベルを垂直に配置」とクリックし、軸ラベルを「確率密度」に変更します。
プロット・エリアを右クリックし、「グラフ データの選択」（Windowsの場合は「データの選択」）をクリックして、「グラフデータの選択」ウィンドウを開きます。 （Windowsの場合は「データソースの選択」ウィンドウが開くので、「横（項目）軸ラベル」の「編集」ボタンをクリックして、「軸ラベル」ウィンドウを開きます。）
「X/項目軸のラベル」入力欄（Windowsの場合は「軸ラベルの範囲」入力欄）の右側のボタンをクリックし、身長の範囲（セルA7からA47まで）をドラッグし、同じボタンをクリックし、「OK」ボタンをクリックします。
（Windowsの場合は、再び「データソースの選択」ウィンドウが開くので、「OK」ボタンをクリックします。） すると、横軸のラベルが身長になります。
これを見ると、男性より女性のほうが身長が小さいものの、散らばりは同じくらいであることが分かります。
体重についても、同じように、確率密度を計算して表にまとめ、グラフにしてみます。 体重の範囲は、35kgから85kgまでとします。
これを見ると、男性より女性のほうが体重が軽く、散らばりも小さいことが分かります。
「Rコマンダー」なら、ExcelのNORMDIST関数やNORMINV関数が、マウスの操作で計算できます。
まず、「Rコマンダー」を起動します。 ExcelのNORMDIST関数の場合は、「Rコマンダー」ウィンドウで、「分布」→「連続分布」→「正規分布」→「正規分布の確率」とクリックします。 すると、「正規確率」ウィンドウが開くので、平均が0, 標準偏差が1で、変数の値が2以下になる確率を求めたければ、それぞれの値を入力し、「下側確率」ラジオ・ボタンをオンにして、「OK」ボタンをクリックします。
すると、「出力ウィンドウ」に確率が表示されます。
ExcelのNORMINV関数の場合は、「Rコマンダー」ウィンドウで、「分布」→「連続分布」→「正規分布」→「正規分布の分位点」とクリックします。 すると、「正規分布の分位点」ウィンドウが開くので、平均が0, 標準偏差が1で、変数の値が x 以下になる確率が0.975である x を求めたければ、それぞれの値を入力し、「下側確率」ラジオ・ボタンをオンにして、「OK」ボタンをクリックします。
すると、「出力ウィンドウ」に変数の値が表示されます。
「Rコマンダー」なら、正規分布のグラフも、マウスの操作で作成できます。
「Rコマンダー」ウィンドウで、「分布」→「連続分布」→「正規分布」→「正規分布を描く」とクリックします。 すると、「正規分布」ウィンドウが開くので、平均と標準偏差を入力し、「密度関数をプロット」ラジオ・ボタンをオンにして、「OK」ボタンをクリックします。
すると、正規分布のグラフが表示されます。
厚生労働省の国民健康栄養調査（平成20年）によると、日本人女性（11歳、14歳、17歳）の身長と体重は以下の通りです。 このデータをまとめたExcelファイルをダウンロードしてください。
| 年齢 | 11歳 | 14歳 | 17歳 |
|---|---|---|---|
| 平均 | 148.0 | 157.0 | 158.9 |
| 標準偏差 | 6.0 | 6.1 | 5.5 |
| 年齢 | 11歳 | 14歳 | 17歳 |
|---|---|---|---|
| 平均 | 40.6 | 48.8 | 50.7 |
| 標準偏差 | 7.1 | 6.3 | 5.3 |
（1）身長の確率分布を正規分布と仮定して、身長135cmから170cmまでの範囲で確率密度を計算し、表にまとめてください。
（2）身長の確率密度を折れ線グラフにしてください。
（3）体重の確率分布を正規分布と仮定して、体重25kgから65kgまでの範囲で確率密度を計算し、表にまとめてください。
（4）体重の確率密度を折れ線グラフにしてください。
今日の演習7の答案（Excelファイル）をメールで提出してください。 差出人は学内のメール・アドレス（k12x1001@cis.twcu.ac.jpなど）とし、宛先はkonishi@cis.twcu.ac.jpとします。 メールの本文には、学生番号、氏名、科目名、授業日（11月7日）を明記してください。