コンピュータIIJ（統計データ解析）第5回

5.1 散布図

統計データの種類について話したとき、1次元データと2次元データの違いについて説明しました。 1次元データは1種類のデータのみに注目し、2次元データは2種類のデータの関係性に注目するということでした。 今日は、2次元データを取り上げます。

次のデータは、ある中学校の二年生男子10名の身長と体重です。

身長と体重の関係に注目すると、身長が大きいほど体重が重いという関係性がありそうです。 量的データ同士の場合、散布図というものを作れば、このような関係性が一目で分かります。

散布図 （ scattergram ）とは、2次元データのデータの組を、平面座標とみなして点を打ったグラフです。 上記の例ならば、

という座標に点を打ちます。 すると、身長が大きいほど体重が重いという、強い関係性があることが分かります。

他の2次元データも見てみましょう。 以下は、ある中学校の二年生男子10名の50m走と1500m走のタイムです。

今度は、50m走が遅いほど1500m走が速いという関係性がありそうです。 実際、散布図を作成すると、確かにそのような関係性があります。 ただし、身長と体重ほど強い関係性ではなさそうです。

5.2 共分散と相関係数

5.2.1 共分散とは

2次元データの関係性の強弱は、相関係数という数値で比較できます。 相関係数を定義する前に、共分散を定義します。

共分散 （ covariance ）とは、2次元データの変数を以下のようにしたとき

と定義されます。 （ x と y は平均です。） シグマ記号を使わなければ、

です。

分散や標準偏差のときと同様に、分母が n −1の共分散もあります。 つまり、

シグマ記号を使わなければ、

です。

分母が n の共分散 S _xy は、データが全部（母集団）の場合に使い、分母が n −1の共分散 s _xy は、データが一部（標本、サンプル）の場合に使います。

共分散の意図するところは、散布図が右上がりならプラス、右下がりならマイナスになることです。 以下の図で、もし散布図が右上がりなら、領域Iと領域III（灰色の領域）に点が集まるはずです。 そして共分散の定義を見ると、領域Iと領域IIIの点についてはプラスになります。 逆に、散布図が右下がりなら、領域IIと領域IV（白の領域）に点が集まるはずです。 再び共分散の定義を見ると、領域IIと領域IVの点についてはマイナスになります。

5.2.2 相関係数とは

身長と体重の関係性と、50m走と1500m走の関係性の強弱を比較したかったわけですが、共分散を比べても無意味です。 なぜなら、身長と体重の共分散の単位はcm×kgで、50m走と1500m走の共分散の単位は秒×秒で、単位が違うからです。 それぞれの標準偏差で割って、単位をなくすれば、関係性の強弱が比較できます。 これが相関係数です。

相関係数 （ correlation coefficient ）は

と定義されます。 ここで、 S _xy は分母が n の場合の共分散、 S _x は分母が n の場合の x の標準偏差、 S _y は分母が n の場合の y の標準偏差です。

分母が n −1の場合の共分散と標準偏差でも、相関係数が定義できます。

ただし、どちらで定義しても同じ値になるので、相関係数については、分母が n のものとか n −1のものとか区別する必要はありません。

相関係数 r は、−1≦ r ≦1の範囲の値を取ります。

• 散布図が右下がりの一直線上に乗るならば、 r ＝−1です。 散布図がそれに近ければ、2次元データには強い負の相関関係があるといいます。
• 散布図がそれなりに右下がりならば、 r は負の数になります。 そのとき、2次元データには負の相関関係があるといいます。
• 散布図が右上がりでも右下がりでもなければ、 r はほぼ0になります。 そのとき、2次元データには相関関係がないといいます。
• 散布図がそれなりに右上がりならば、 r は正の数になります。 そのとき、2次元データには正の相関関係があるといいます。
• 散布図が右上がりの一直線上に乗るならば、 r ＝1です。 散布図がそれに近ければ、2次元データには強い正の相関関係があるといいます。

5.2.3 共分散と相関係数の注意点

共分散は、分母が n のものと分母が n −1のものが定義されます。 相関係数は、どちらで定義しても同じ値になりますので、分母を気にしなくてもよいです。

相関関係と因果関係は違うことに注意してください。 例えば、身長と体重には相関関係がありますが、どちらが原因でどちらが結果などとは言えません。

5.3 Excelによる散布図

それでは、Excelを利用して、散布図を作成しましょう。 次のExcelファイルをダウンロードしてください。

まず、表全体（B2からC12まで）をドラッグします。 リボンの「グラフ」（Windowsの場合は「挿入」）をクリックし、「グラフの挿入」項目で「散布図」→「散布図」とクリックします。 すると、散布図が表示されます。

上側のグラフ・タイトルをダブル・クリックし、「中二男子生徒の身長と体重」に変更します。 右側の凡例「weight」をクリックし、deleteキーを押して削除します。

リボンの「グラフ レイアウト」をクリックし、「ラベル」項目で「軸ラベル」→「横軸ラベル」→「軸ラベルを軸の下に配置」とクリックし、軸ラベルを「身長（cm）」に変更します。 「ラベル」項目で「軸ラベル」→「縦軸ラベル」→「軸ラベルを垂直に配置」とクリックし、軸ラベルを「体重（kg）」に変更します。

ただし、体重の目盛が0から始まっているので、このままでは体重の差が分かりにくいです。 縦軸をダブル・クリックすると、「軸の書式設定」ウィンドウを開くので、「目盛」タブ（Windowsの場合は「軸のオプション」タブ）をクリックし、「最小値」チェックボックスをオフにし、目盛の始まりの値（例えば30）を入力してください。

すると、体重の目盛が30から始まります。

5.4 Excelによる共分散と相関係数

散布図の次は、共分散と相関係数を求めます。 まず、セルE2以下に「共分散」、「相関係数」と入力します。

共分散を計算するには、ExcelのCOVAR関数を使うとできます。 （共分散は英語でcovarianceです。） この関数は、

という形式で、 x の範囲と y の範囲の間の共分散を計算します。 COVER関数は、分母が n のものです。 （分母を n −1にしたければ、COVAR(...)*10/9 のようにしてください。）

それでは、セルF2に=COVER(B3:B12,C3:C12)と入力してください。 身長と体重の共分散が計算されます。 小数点以下2桁の表示にしておいてください。

相関係数を計算するには、ExcelのCORREL関数を使います。 （相関係数は英語でcorrelation coefficientです。） この関数は、

という形式で、 x の範囲と y の範囲の間の相関係数を計算します。

それでは、セルF3に=CORREL(B3:B12,C3:C12)と入力してください。 身長と体重の相関係数が計算されます。 小数点以下2桁の表示にしておいてください。

以上より、身長と体重の相関係数は0.95です。 50m走と1500m走についても同様に相関係数を求めると、−0.78となります。 正負の違いはありますが、身長と体重のほうが、50mと1500m走よりも関係性が強いことが分かります。

5.5 分析ツールによる共分散と相関係数

Excelの分析ツールでも、共分散と相関係数が求められます。 今日の演習では使いませんが、一応説明します。

まず、リボンの「データ」をクリックし、「分析」項目の「データ分析」をクリックします。 分析ツールのウィンドウが開いたら、「共分散」をクリックします。

「共分散」ウィンドウの、「入力範囲」にはデータの範囲（$B$2:$C$12）を入力し、「データ方向」の「列」をクリックし、「先頭行をラベルとして使用」チェックボックスをオンにし、「出力先」をクリックし、出力先として余白（例えば$E$5）を入力し、「OK」ボタンをクリックします。 すると、出力先に共分散が表示されます。

再び、「データ分析」をクリックします。 分析ツールのウィンドウが開いたら、「相関」をクリックします。

「相関」ウィンドウの、「入力範囲」にはデータの範囲（$B$2:$C$12）を入力し、「データ方向」の「列」をクリックし、「先頭行をラベルとして使用」チェックボックスをオンにし、「出力先」をクリックし、出力先として余白（例えば$E$9）を入力し、「OK」ボタンをクリックします。 すると、出力先に相関係数が表示されます。

5.6 StatPlusによる共分散と相関係数

次に、「StatPlus」で共分散と相関係数を計算します。 「StatPlus」を起動し、メニューバーで「Statistics」→「Basic Statistics and Tables」→「Covariance」とクリックします。 すると、「Covariance」ウィンドウが開くので、「Variables」入力欄の右側のボタンをクリックし、Excelシートのデータの範囲（セルB2からC12まで）をドラッグします。 「Covariance」ウィンドウの「Labels in first row」チェックボックスをオンにして、「OK」ボタンをクリックします。

すると、新しくExcelのウィンドウが開き、この「height」と「weight」の交わる部分に、共分散が表示されます。

続いて、メニューバーで「Statistics」→「Basic Statistics and Tables」→「Linear Correlation（Pearson）」とクリックします。 すると、「Correlation」ウィンドウが開くので、「Variables」入力欄の右側のボタンをクリックし、Excelシートのデータの範囲（セルB2からC12まで）をドラッグします。 「Correlation」ウィンドウの「Labels in first row」チェックボックスをオンにして、「OK」ボタンをクリックします。

すると、新しくExcelのウィンドウが開き、この「height」と「weight」の交わる部分に、相関係数が表示されます。

5.7 Rコマンダーによる散布図

最後に、「Rコマンダー」で散布図を作成し、相関係数を計算します。 あらかじめ「Rコマンダー」を起動して、Excelシートのデータの範囲（セルB2からC12まで）をインポートしておいてください。 念のため、「Rコマンダー」ウィンドウの「データセットを表示」ボタンをクリックして、インポートしたデータを確認します。

「Rコマンダー」ウィンドウで、「グラフ」→「散布図」とクリックします。 すると、「散布図」ウィンドウが開くので、「x変数」項目で「height」をクリックし、「y変数」項目で「weight」をクリックし、すべてのチェックボックスをオフにして、「OK」ボタンをクリックします。

すると、散布図が表示されます。

5.8 Rコマンダーによる相関係数

続いて、相関係数を計算します。 「Rコマンダー」ウィンドウで、「統計量」→「要約」→「相関行列」とクリックします。 すると、「相関行列」ウィンドウが開くので、「変数」項目で（必要に応じでshiftキーを押しながら）「height」と「weight」をクリックし、「ピアソンの積率相関」ラジオ・ボタンをオンにして、「OK」ボタンをクリックします。

すると、「Rコマンダー」ウィンドウの「出力ウィンドウ」欄の、「height」と「weight」の交わる部分に、相関係数が表示されます。

5.9 演習5

ある中学校で、二年生の女子10名に対して、身体測定と体力測定が行われたとします。 身長と体重、および、50m走と1000m走の結果をまとめたExcelファイルをダウンロードしてください。

（1）身長と体重の散布図を作成してください。 軸の目盛は適宜調節してください。

（2）身長と体重の相関係数を求めてください。 数値の書式は、小数点以下2桁にしてください。

（3）50m走と1000m走の散布図を作成してください。 軸の目盛は適宜調節してください。

（4）50m走と1000m走の相関係数を求めてください。 数値の書式は、小数点以下2桁にしてください。

5.10 レポート課題

今日の演習5の答案（Excelファイル）をメールで提出してください。 差出人は学内のメール・アドレス（k12x1001@cis.twcu.ac.jpなど）とし、宛先はkonishi@cis.twcu.ac.jpとします。 メールの本文には、学生番号、氏名、科目名、授業日（10月24日）を明記してください。

5.11 参考文献

• 東京大学教養学部統計学教室『統計学入門』東京大学出版会、1991.
• 大森崇、阪田真己子、宿久洋『R Commanderによるデータ解析』共立出版、2011.
• 涌井良幸、涌井貞美『Excelで学ぶ統計解析』ナツメ社、2003.